Chapitre 04 – Approche historique de la fonction logarithme

4. Travaux de Neper

Au 17e siècle, Neper bâtit sa conception du logarithme par des procédés cinématiques. Il imagine deux points mobiles se déplaçant sur deux axes parallèles, l'un se déplaçant à une vitesse constante et l'autre se déplaçant à une vitesse proportionnelle à la distance lui restant à parcourir.
Il parvient ainsi à établir l'encadrement suivant du logarithme:
\forall x\in ]0;+\infty[, \frac{x-1}{x}\le ln(x)\le x-1

Nous allons démontrer cet encadrement et l'utiliser.

Partie A: une démonstration de l'encadrement utilisé par Neper
f et g sont les fonctions définies sur l'intervalle ]0;+\infty [ par:

f(x)=ln(x)-x+1
g(x)=ln(x)-\frac{x-1}{x}

1. a. Vérifier que pour tout réel x > 0, f'(x)=\frac{1-x}{x}.
   b. Etudier le sens de variation de la fonction f.
   c. En déduire que pour tout réel x > 0, ln(x)\le x-1.
2. a. Vérifier que pour tout réel x > 0, g'(x) =\frac{x-1}{x^2}.
   b. Étudier le sens de variation de la fonction g.
   c. En déduire que pour tout réel x > 0, ln (x)\ge\frac{x-1}{x}.

Partie B: une méthode d'approximation de `$$ln(x)$
Neper choisit de prendre comme approximation de ln(x), la moyenne arithmétique des bornes de l'encadrement précédent , c'est-à-dire la moyenne des deux nombres \frac{x-1}{x} et x-1.

1. Justifier que pour tout réel x > 0, ln(x)\approx \frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right).
2. a. Déduire de la question précédente une approximation de ln(0,99) et de ln (0,9995). Arrondir au cent-millième.
   b. Comparer les valeurs obtenues avec celles données par la calculatrice.
3. Voici comment Neper a procédé pour obtenir son approximation de ln(0,7).
   a. Vérifier, à l'aide de la calculatrice, que :
   0,99^{36}\times 0,9995^{10}\le 0,7\le 0,99^{35}\times 0,9995^9
   b. Justifier que:
   36ln(0,99)+10ln(0,9995)\le ln(0,7)\le35ln(0,99)+9ln(0,9995)
   c. Déduire des questions précédentes un encadrement d'amplitude un millième du nombre ln(0,7).

5. Suites géométriques et placement

Durant la Renaissance, le commerce se développant, les marchands ont été amenés à constituer des tables d'intérêts. Luca Pacioli (1447-1517), religieux franciscain,
mathématicien et fondateur de la comptabilité, présente la règle des 72 en 1494 dans son ouvrage intitulé Summa dearithmet ica, geometria, de proportioni et de proportionalita.
Cette règle est une méthode pour estimer le temps de doublement d'un capital. Luca Pacioli estime que si un capital est placé au taux d'intérêt de t \% par période
(en général, années), il faut \frac{72}{t} périodes pour le doubler.

Nous allons appliquer la règle des 72, puis déterminer une autre approximation du
nombre de périodes nécessaires au doublement d'un capital.

Partie A: la règle des 72
t désigne un nombre réel strictement positif et n est un nombre entier naturel non nul.

1. Utiliser la règle de Pacioli pour estimer le nombre n de périodes nécessaires pour doubler un capital lorsqu'il est placé à un taux d'intérêts composés de:
   • t = 1\%
   • t = 5\%
   • t = 10\%
2. Au bout de n années de placement au taux d'intérêt de t \%, le capital est multiplié par \left(1+ \frac{t}{100}\right)^n.
   a. Dans chaque cas, déterminer, en utilisant la fonction ln, le plus petit nombre
   entier naturel n tel que \left(1+\frac{t}{100}\right)^n\ge 2.
   • t = 1\%
   • t=5\%
   • t=10\%

b. Comparer ces résultats avec ceux obten us à la question 1.

Partie B: une autre estimation

1. f et g sont les fonctions définie s sur l'intervalle [ 0; +\infty[ par :
   f (x) = ln(1 + x) - x+ \frac{x^2}{2}
   g( x)= ln(1 +x)-x
   a. Étudier les variations des fonctions f et de g sur l'intervalle [ 0; +\infty[.
   b. En déduire que pour tout réel x de l'intervalle [ 0; +\infty[, x - \frac{x^2}{2} \le ln(1+x)\le x.
2. Pour des petites valeurs de x, \frac{x^2}{2} étant très petit, on choisit d'utiliser l'approximation ln(1 + x)\approx x.
   a. Justifier que le nombre de périodes nécessaires au doublement d'un capital
   placé au taux de t \% (pour des petites valeurs de `$$t$) est environ égal à
   \frac{70}{t}.
   b. Que devient cette règle si l'on veut tripler le capital?

6. Loi de Kepler

Au début du XVIIe siècle, l'astronome Johannes Kepler a établi des lois physiques qui décrivent les propriétés du mouvement des planètes autour du soleil.
Pour une planète tournant autour du Soleil, il considère que sa trajectoire est circulaire. Il note T sa période de révolution et r le rayon de son orbite (c'est-à-dire le rayon du cercle que forme sa trajectoire). On donne dans une feuille de tableur les mesures ci-dessous.

1. Reproduire la feuille de tableur dans un logiciel et compléter les colonnes D et E.
2. Construire, avec le tableur, le nuage de points de coordonnées (ln (r ) ; ln(T)).
   Quel type de courbe semble-t -on obtenir?
3. Insérer une courbe de tendance linéaire (clic droit sur les points du graphique) et faire afficher l'équation de la courbe. Arrondir le coefficient directeur de la
   droite au dixième.
4. En déduire que 2ln(T) = 3ln(r) + k , où k est une constante à déterminer.
5. Montrer que T s'exprime en fonction de r sous la forme T^2 = Kr^3, où K est une constante réelle à déterminer.

7. Intensité sonore

On note I l'intensité acoustique d'un bruit, mesurée en watts par mètre carré ($W. m^{-2}$).
Cette intensité acoustique mesure une puissance acoustique par unité de surface.
On note I_0 l'intensité acoustique sous laquelle un humain n'entend pas le bruit.
On a I_0 = 10^{-12}~W.m^{-2}.
L'intensité acoustique du bruit émis lors d'une conversation normale est I_C = 10^{-6}~W.m^{-2}.
Le seuil de la douleur, c'est-à -dire l'intensité au-delà de laquelle le bruit risque d'endommager le système auditif, est égal à I_d = 10 W.m^{-2}.
Pour comparer ces intensités acoustiques, dont les ordres de grandeur sont très différents, on définit le niveau sonore, noté L, par:
L=\frac{10}{ln(10)}ln\left(\frac{I}{I_0}\right).

L est exprimé en décibel (dB).

1. Calculer le niveau sonore correspondant aux intensités I_0, I_C et I_d.
2. Dans une cantine, on trouve que le niveau sonore est égal à 85~dB. Calculer l'intensité acoustique correspondant à ce bruit.
3. Lors d'un concert piano -voix, le niveau sonore du piano seul est mesuré à 72 décibels et celui de la chanteuse seule à 68 décibels.
   Sachant que les intensités de plusieurs sources sonores s'additionnent, quel est le niveau sonore du concert?
4. Le seuil de la douleur est à 120 décibels.
   Calculer l'intensité sonore correspondante.
5. Dans une artère très fréquentée, grâce à des aménagements urbains, l'intensité du bruit émis par le trafic a été divisée par deux.
   Calculer l'atténuation du bruit obtenue, en décibels.