Chapitre 06 – Modèles d’évolution: modèle continu

I – Primitives d’une fonction

1. généralités

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et \forall x\in I, F'(x)=f(x).

Exemple

1. La fonction F_1:\mapsto 2x^2+2x-3 est-elle une primitive sur \mathbb{R} de la fonction f:x\mapsto 4x+2?
2. La fonction F_2:\mapsto 2x^2+2x+10 est-elle une primitive sur \mathbb{R} de la fonction f?

1.F_1 étant une fonction polynômiale, elle est dérivable sur \mathbb{R}.
F_1'(x)=2\times 2x+2=4x+2=f(x)
Donc F_1 est une primitive de f sur \mathbb{R}.
2.F_2 étant une fonction polynômiale, elle est dérivable sur \mathbb{R}.
F_2'(x)=2\times 2x+2=4x+2=f(x)
Donc F_2 est une primitive de f sur \mathbb{R}.

Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
L’ensemble des primitives de f sur I est constitué par les fonctions G définies sur I par G(x)=F(x)+c où c\in\mathbb{R}.

Remarque

On dit aussi que deux primitives d’une même fonction f sur un intervalle I diffèrent d’une constante.

Démonstration

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.

• Soit c\in \mathbb{R}. Posons \forall x\in I, G(x)=F(x)+c.
  La fonction F étant dérivable sur I (puisque c’est une primitive de f), on peut affirmer que la fonction G est dérivable sur I.
  De plus G'(x)=F'(x)+0=F'(x)=f(x).
  Donc la fonction G est une primitive de f sur I.
• Réciproquement, supposons que G est une primitive de f sur I.
  On a donc \forall x\in I, G'(x)=f(x).
  Soit la fonction U définie sur I par U(x)=G(x)-F(x).
  Les fonction F et G étant dérivables sur I (puisque des primitives de f sur I), la fonction U est aussi dérivable sur I.
  (U)'(x) =G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0
  La fonction U est donc une fonction constante.
  Donc \exists c\in \mathbb{R}, U(x)=c.
  \exists c\in \mathbb{R}, G(x)-F(x)=c.
  \exists c\in \mathbb{R}, G(x)=F(x)+c.

Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Il existe une unique primitive F de f sur l’intervalle I telle que F\left(x_0\right)=y_0 où x_0 et y_0 sont des nombres réels donnés avec x_0\in I.

Démonstration

Existence d’une telle fonction

Soit F une primitive de f sur I.
La fonction G définie par \forall x\in I, G(x)=F(x)-F(x_0)+y_0.
G est dérivable sur I car F aussi.
G'(x)=F'(x)-0+0=F'(x)=f(x)
Donc G est une primitive de f.
De plus, `$$G(x_0)=F(x_0)-F(x_0)+y_0=y_0$

Il existe bien une primitive G de f telle que G\left(x_0\right)=y_0

Unicité d’une telle fonction

Supposons qu’il existe deux fonctions G et H, primitives de f sur I et telles que G\left(x_0\right)=y_0 et H\left(x_0\right)=y_0.
Soit U la fonction définie sur I par \forall x \in I, U(x)=G(x)-H(x).
La fonction U est dérivable sur I car F et G le sont aussi.
On a alors:
U'(x)=G'(x)-H'(x)=f(x)-f(x)=0
Donc la fonction U est une fonction constante.
De plus, U(x_0)=G(x_0)-H(x_0)=y_0-y_0=0
Donc la fonction U est la fonction nulle.
Ainsi \forall x\in I, U(x)=0.
Et donc \forall x\in I, G(x)-H(x)=0.
Ou encore \forall x\in I, G(x)=H(x).

Il n’existe donc bien qu’une seule primitive G de f sur l’intervalle I telle que G\left(x_0\right)=y_0

Exemple

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=2x-e^x.
Déterminer la primitive de la fonction f qui vaut en .

La primitive que l’on cherche est de la forme F(x)=x^2-e^x+c, avec c\in\mathbb{R}.
De plus, F(0)=0
donc 0^2-e^0+c=0
soit encore -1+c=0
Et donc c=1
La primitive cherchée est la fonction F:x\mapsto x^2-e^x+1.

2. Tableau des primitives des fonctions de référence

Dans le tableau ci-dessous, c désigne un nombre réel.

La fonction f définie sur I par	Les primitives de f sur I sont définie par	avec I=
f(x)=k, avec k\in\mathbb{R}	F(x)=kx+c	\mathbb{R}
f(x)=x, avec m\in\mathbb{R} et p\in\mathbb{R}	F(x)=\frac{1}{2}x^2+c	\mathbb{R}
f(x)=x^2	F(x)=\frac{1}{3}x^3+c	\mathbb{R}
f(x)=x^n, avec n\in\mathbb{N}^*	F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c	\mathbb{R}
f(x)=\frac{1}{x}	ln(x)+c	]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{x^2}	F(x)=-\frac{1}{x}+c	]-\infty;0[ ou ]0;+\infty[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}	F(x)=2\sqrt{x}+c	\mathbb{R}^*_+
f(x)=\cos x	F(x)=\sin x+c	\mathbb{R}
f(x)=\sin x	F(x)=-\cos x+c	\mathbb{R}
f(x)=e^x	F(x)=e^x+c	$$\mathbb{R}$$`

3. Un autre tableau

Propriété

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

La fonction f est difinie sur I par	Les primitives de f sont	Conditions sur u
f(x)=2u'(x)u(x)	F(x)=[u(x)]^2+c
f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}	F(x)=ln(u(x))+c	u(x)>0 sur I
f(x)=u'(x)e^{u(x)}	F(x)=e^{u(x)}+c

Exemple

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=(1+x)e^{\frac{1}{2}x^2+x-1}.
Déterminer la primitve F de la fonction f définie sur \mathbb{R} telle que F(1)=2.

En posant u(x)= \frac{1}{2}x^2+x-1, on remarque que u'(x)=x+1.
Ainsi f(x)=u'(x)e^{u(x)}.
Donc F(x)=e^{u(x)}+c=e^{\frac{1}{2}x^2+x-1}+c
Or F(1)=2
Donc e^{\frac{1}{2}\times 1^2+1-1}+c=2
Soit e^{\frac{1}{2}}+c=2
C’est-à-dire c=2-e^{\frac{1}{2}}
Ainsi F(x)=e^{\frac{1}{2}x^2+x-1}+2-e^{\frac{1}{2}}

II – Equation différentielle

1. Généralité

Définition

Une équation différentielle est une équation dans laquelle l’inconnue est une fonction et dans laquelle interviennent des dérivées de cette fonction.

Exemple

L’équation y'=3y+5 est une équation différentielle dans laquelle l’inconnue y est une fonction.

1. Vérifier que la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=2e^{3x}-\frac{5}{3} est une solution de cette équation différentielle.
2. Y a-t-il d’autres solutions?

1.La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}.
f'(x)=2\times 3 \times e^{3x}=6e^{3x}
3f(x)+5=3\left(2e^{3x}-\frac{5}{3}\right)+5=6e^{3x}-5+5=6e^{3x}
Donc \forall x\in \mathbb{R}, f'(x)=3f(x)+5
Ainsi f est bien une solution de l’équation différentielle y'=3y+5.
2.Par exemple, x\mapsto -\frac{5}{3} et x\mapsto 7e^{3x}-\frac{5}{3} sont aussi solution de l’équation différentielle y'=3y+5.

Remarque

Trouver toutes les primitives d’une fonction f sur un intervalle I, c’est résoudre l’équation différentielle y'=f sur I.

2. Résolution d’équations différentielles y'=ay+b avec a\in\mathbb{R} et b\in\mathbb{R}

Définition

Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui sont solutions de cette équation.

Propriété

Soit a\in\mathbb{R}. Considérons l’équation différentielle (E): y'=ay.
Les solutions de l’équation (E) sont les fonctions définies sur \mathbb{R} par f_k(x)=ke^{ax} où k\in\mathbb{R}.

Démonstration

Nous allons démontrer cette propriété en deux temps:

1.Toutes les fonctions du type f_k(x)=ke^{ax} où k\in\mathbb{R} sont solutions de (E).
2.Toutes les solutions de (E) sont du type f_k(x)=ke^{ax} où k\in\mathbb{R}.

1.Soit k\in\mathbb{R}. Soit f_k la fonction définie sur \mathbb{R} par f_k(x)=ke^{ax}.
La fonction f_k est dérivable sur \mathbb{R} car la fonction exponentielle l’est.
f_k'(x)=kae^{ax}=ake^{ax}=af_k(x)
Donc f_k est bien solution de (E).

2.Soit g une solution de (E) sur \mathbb{R}.
On a donc \forall x\in \mathbb{R}, g'(x)=ag(x) ou encore g'(x)-ag(x)=0.
Posons \forall x\in \mathbb{R}, \phi(x)=\frac{g(x)}{e^{ax}}=g(x)e^{-ax}.
\phi est une fonction dérivable sur \mathbb{R} car les fonctions g et exponentielle le sont.
\phi'(x)=g'(x)e^{-ax}+g(x)\times (-a)e^{-ax}=e^{-ax}(g'(x)-ag(x))=e^{-ax}\times 0=0
Donc $$$\forall x\in \mathbb{R}, \phi'(x)=0$$[/katex]
La fonction \phi est donc une fonction constante.
\exists k\in\mathbb{R}, \forall x\in\mathbb{R}, \phi(x)=k
On a donc:
\frac{g(x)}{e^{ax}}=k soit encore g(x)=ke^{ax}
Donc les solutions de (E) sont de la forme f_k(x)=ke^{ax}.